Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2022

Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 2 & 1\end{pmatrix}$$.
a) Estudiar el rango de la matriz $A-\lambda I$ según los valores de $\lambda\in\mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $2\times 2$. (1,5 puntos)
b) Para $\lambda=2$ solucionar el sistema $AX=\lambda X$, donde $$X=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$$. (0,5 puntos)

Discutir en función del parametro $a\in\mathbb{R}$, el sistema lineal de ecuaciones:
$$\begin{cases}4x+y-2az=a\\ ax-y+z=0\\ y-az=-1\end{cases}$$ (2 puntos)

Dados los puntos $A=(0,0,2)$ y $B=(1,1,0)$ y la recta $$r:\begin{cases}x=1\\ y=z\end{cases}$$. Calcular un punto $P\in r$ para que el triangulo $ABP$ tenga un angulo recto en el punto $A$. (2 puntos)

Sean las rectas: $$r:\begin{cases}x=2-2y\\ z=1-x\end{cases}$$ y $s:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$.
a) Estudiar la posicion relativa de las rectas $r$ y $s$. (1 punto)
b) Calcular la distancia entre las dos rectas. (1 punto)

Dada la función $f(x)=\dfrac{x^3}{1-x^2}$.
a) Estudiar asintotas, monotonia y puntos extremos de $f(x)$. (1,5 puntos)
b) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la grafica de $f(x)$. (0,5 puntos)

Hallar los puntos de inflexion de la grafica de la función $f(x)=x-\ln(x^2+1)$. (2 puntos)

Calcular la integral $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^3-x}\,dx$. (2 puntos)

Hallar el parametro positivo $a\in\mathbb{R}$ tal que el area de la region plana encerrada por las graficas de las funciones $f(x)=x^2$ y $g(x)=ax$ sea $4/3$. (2 puntos)

El 50% de los alumnos de la UEX practica "running" y el 30% monta en bicicleta. Además, se sabe que el 70% de los alumnos de la UEX practica uno de los dos deportes. Si seleccionamos un alumno al azar, se pide:
a) La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes. (0,75 puntos)
b) Si practica el deporte de montar en bicicleta, ¿cual es la probabilidad de que practique running? (0,75 puntos)
c) ¿Son independientes los sucesos "Practicar running" y "Practicar montar en bicicleta"? (0,5 puntos)

El diametro de las cerezas picotas del Jerte se distribuye normalmente con media $2{,}5$ cm y desviacion tipica $0{,}2$ cm.
a) Si se desea seleccionar, para su exportacion, el 10% de las mas grandes, ¿a partir de que tamaño hay que cogerlas? (1 punto)
b) Si tomamos una cereza picota del Jerte al azar, ¿que probabilidad tiene la cereza de tener un diametro entre $2{,}2$ cm y $2{,}8$ cm? (1 punto)