Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2020

Dada la matriz $$\begin{pmatrix}1 & -1 & k\\ 2 & -k & 1\\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}$$.
a) Estudie los valores de $k\in\mathbb{R}$ para los que la matriz tiene inversa. (1 punto)
b) Calcule la inversa para $k=1$. (1 punto)

Discuta en función del parametro $\lambda\in\mathbb{R}$ el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases}x+\lambda y-z=1\\ -\lambda x+y=\lambda\\ (\lambda+3)y-2z=4\end{cases}$$ (2 puntos)

Sean el plano $\Pi$ de ecuacion $2x+y-z-2=0$ y la recta $r$ dada por $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-1}{3}$.
a) Estudie la posicion relativa de la recta respecto del plano. (1 punto)
b) Calcule la distancia de la recta al plano. (1 punto)

Tres vertices consecutivos de un paralelogramo son $A(1,3,-2)$, $B(4,3,1)$ y $C(1,0,1)$.
a) Calcule el cuarto vertice $D$. (1 punto)
b) Calcule el area del paralelogramo. (1 punto)

a) Estudie la monotonia (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (maximos y minimos) de la función $f(x)=e^x(x^2-x+1)$. (1 punto)
b) Justifique si existe algun valor de $x$ tal que $f(x)=2$. (1 punto)

Considere la función $f(x)$, donde $a\in\mathbb{R}$, dada por
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-e^x}{x} & \text{si } x\neq 0\\ a & \text{si } x=0\end{cases}$$
a) Calcule el valor de $a$ para que la función sea continua. (1 punto)
b) Calcule la ecuacion de la recta tangente en $x=1$. (1 punto)

Dadas las funciones $f(x)=x^2-4x+1$ y $g(x)=-x+1$, se pide:
a) Represente de forma aproximada la region delimitada por las dos curvas. (0,5 puntos)
b) Calcule el area de dicha region. (1,5 puntos)

Resuelva la integral $\displaystyle\int\dfrac{-x+7}{x^2+x-2}\,dx$. (2 puntos)

Una libreria compra lotes de material escolar a tres empresas A, B y C. A la empresa A le compra el 40% de los lotes, a B el 25% y a C el resto. De la empresa A le viene defectuoso el 1% de los lotes, de B el 2% y de C el 3%. Elegido un lote al azar, se pide:
a) Calcule la probabilidad de que sea defectuoso. (1 punto)
b) Si sabemos que no es defectuoso, calcule la probabilidad de que lo haya fabricado la empresa B. (1 punto)

Se ha hecho un estudio de un famoso jugador de baloncesto de la ACB y se sabe que tiene una probabilidad de encestar un triple del 60%. Si realiza 8 tiros a canasta:
a) Calcule la probabilidad de que enceste 5 triples. (0,75 puntos)
b) Calcule la probabilidad de que enceste al menos 2. (0,75 puntos)
c) Determine la media y la desviacion tipica de la distribucion. (0,5 puntos)