Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

Estudiar el rango de la matriz $A - \lambda\cdot I$ segun los valores de $\lambda\in\mathbb{R}$, donde $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ e $I$ es la matriz identidad de orden 3. (2 puntos)

Discutir el sistema para los distintos valores del parametro $a\in\mathbb{R}$: $$\begin{cases} x+y+z = 2a-1 \\ 2x+y+az = a \\ x+ay+z = 1 \end{cases}$$ (1.5 pts). Resolver el sistema en el caso $a=1$ (0.5 pts).

Sean los vectores $\vec{u}=(0,0,2)$, $\vec{v}=(1,1,0)$ y $\vec{w}=(2,-1,1)$. a) ¿Son $u$, $v$ y $w$ linealmente independientes? (0.5 pts) b) Calcular el area del triangulo formado por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. (0.75 pts) c) Calcular un vector de modulo uno perpendicular a los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$. (0.75 pts)

Dados los puntos $A=(0,0,2)$ y $B=(1,1,0)$ y la recta $$r\equiv \begin{cases} x=1 \\ y=z \end{cases}$$. a) Hallar el plano que contiene a $r$ y es paralelo al vector $\vec{AB}$. (1.25 pts) b) Hallar la distancia del punto $A$ a la recta $r$. (0.75 pts)

Calcular los coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$ del polinomio $p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3$, sabiendo que cumple todas las condiciones siguientes: $p(x)$ tiene un maximo relativo en $x=-1$, la grafica de $p(x)$ tiene un punto de inflexion en $(0,0)$, y la recta tangente a la grafica de $p(x)$ en $x=2$ tiene pendiente 3. (2 puntos)

Encontrar los valores de $a$ y $b$ para que la funcion $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + ax + b & \text{si } x \leq 1 \\ \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ sea continua en $x=1$ y su grafica pase por el punto $(-1, 5)$. (2 puntos)

Determinar la primitiva $F(x)$ de la funcion $f(x) = (x+1)e^{x+1}$ que cumple $F(0) = -1$. (2 puntos)

Calcular el area de la region encerrada por las graficas de las funciones $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ y $g(x) = x$. (2 puntos)

Un club de montana organiza dos tipos de actividades para sus afiliados. El 70% de ellos se apuntan a escalada, el 60% a barranquismo y el 45% de ellos practica las dos. Si se elige al azar un afiliado: a) Calcular la probabilidad de que practique solo una de las dos actividades. (0.75 pts) b) Calcular la probabilidad de que no practique ninguna. (0.5 pts) c) Sabiendo que hace barranquismo, calcular la probabilidad de que no haga escalada. (0.75 pts)

Los relojes de cierta marca tienen una vida util que se ajusta a una distribucion normal de media 10 anios y desviacion tipica de 2 anios. Si compramos un reloj de esta marca: a) Calcular la probabilidad de que dure entre 9 y 12 anios. (1 pt) b) ¿Cuanto tiempo tendra que durar el reloj si queremos que el 90% de los relojes de esa marca duren menos que el nuestro? (1 pt)