a) Calcular el siguiente límite: $\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1-\operatorname{sen} x\cos x}{1+\operatorname{sen} x\cos x}\right)^{1/x^2}$. b) Determinar el valor de la constante real $a$ para que se satisfaga la siguiente igualdad: $\lim_{x\to 4}\dfrac{\lg(2(1)\sqrt{x-2})}{x^2-16+ax}=\dfrac{1}{32}$.

Determinar los valores de los parámetros reales $\alpha$ y $\beta$ para que las funciones $f(x)=\alpha x^3+\beta x^2+x^2+x+a$, sean tangentes en el punto de abscisa $x=-1$. Para los valores obtenidos de $\alpha$ y $\beta$, calcular la recta tangente común en $x=-1$.

Calcular el área del recinto limitado por las rectas $x=-2$, $x=2$, el eje $OX$ y la función $$f(x)=\begin{cases} x^2, & x\leq 0\\ x, & x>0\end{cases}$$.

Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ m & 0 & 2\end{pmatrix}$$, $m\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. a) Hallar $\alpha$ y $\beta$ de tal forma que $A^2=\alpha A+\beta I$, siendo $I$ la matriz identidad. b) Calcular $A^9$ utilizando la anterior identidad.

Dado el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} ay+(a+1)z=a\\ ax+z=a-a\\ x+az=-a\end{cases}$$. a) Discutir y resolver según el valor del parámetro real $a$. b) Determinar la inversa de la matriz asociada al sistema para $a=2$.

Sean $A$ y $B$ las matrices: $$A=\begin{pmatrix} -13 & 5\\ 10 & -3\end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -4 & 2\end{pmatrix}$$. a) Hallar $X$ e $Y$, matrices solución del sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} 3X-5Y=A\\ -X+2Y=B\end{cases}$$. b) Calcular si existen las matrices inversas de $X$ e $Y$.

Determinar en función del parámetro real $a$, la posición relativa de los siguientes planos: $$\begin{cases} (a-1)x+y-z=a\\ (a+1)x+(2a+1)y-z=-a\\ ax+ay+z=a\end{cases}$$.

Dados los vectores $\vec{u}=(1,2,3)$ y $\vec{v}=(0,1,1)$. a) Hallar un vector $\vec{w}$ de módulo uno, que sea perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$. b) Calcular el área del paralelogramo determinado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

En una clase de primaria, el 50% de los niños practica natación, el 20% practica baloncesto y el 5% practica ambos deportes. a) Calcular la probabilidad de que un niño elegido al azar no practique ni natación ni baloncesto. b) Calcular la probabilidad de que un niño practique natación si juega al baloncesto.

Se sabe que dos poblaciones distintas $X$ e $Y$ se distribuyen según una Normal de media 25. Además $P(X\geq 27)=P(Y\geq 30)=0{,}1587$. Calcular sus respectivas varianzas.