Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2024

Escribe, si existen, las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f(x) = |x| exp(-x), en los puntos de abscisa x = 0 y x = -1.

Un nadador se encuentra a 2 km de la playa enfrente del puesto de la Cruz Roja. Desea ir a la caseta de las duchas que está en la misma playa a 3 km de distancia de la Cruz Roja. Sabiendo que nada a 3 km/h y anda por la arena a 5 km/h, determinar a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a las duchas en el menor tiempo posible.

Dada la función f(x) = (1 - x^2) tan(x), demuestra que tiene un máximo relativo en el intervalo (0, π/2).

Halla la matriz X que satisface AXA + B = B(2A + I), donde A = ((1, -1),(0, 1)), B = ((1, 2),(-1, -1)) e I es la matriz identidad de orden 2.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a: {x - y + az = a, ax + y - z = a, (a+1)x + z = a + 2}, halla la matriz $A^{-1}$b sin calcular la matriz inversa de A, siendo A la matriz de coeficientes y b la matriz (vector) de términos independientes.

Dadas las matrices A = ((a, 1),(0, -a)) y B = ((a-4, -1),(0, 2a)), halla a para que $A^{2}$ - A = 12 I + B con I la matriz identidad de orden 2. A continuación, halla la matriz X tal que XA = AX + I.

Dados los planos de ecuaciones {ax + y + z = a^2, x - y + z = 1, 3x - y - z = 1, 6x - y + z = 3a}, analiza según los valores del parámetro a su posición relativa.

Dado el punto P ≡ (2, -1, 3), halla las ecuaciones de los siguientes planos que contienen a P. (i) Paralelo a π : 4x + 3y - 2z + 4 = 0. (ii) Perpendicular a la recta r : (x - 3)/3 = y/2 = (z + 2)/(-4).

Una máquina de café está regulada de modo que la cantidad de café que echa está distribuida por una normal de media 125 ml y una desviación típica de 20 ml. Calcula: (i) el porcentaje de vasos que se llenarán con más de 150 ml. (ii) entre qué capacidades (ml) está el 60% de los cafés que dispensa la máquina. (Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen).

El 2% de la población mundial padece una cierta enfermedad. Se dispone de una prueba para detectarla, pero no es fiable. En el 98% de los casos da positivo en personas enfermas. Y en el 4% de los casos da positivo en personas sanas. Halla (i) la probabilidad de que una persona esté sana, habiendo salido la prueba positiva. (ii) habiendo salido la prueba negativa, la probabilidad de que una persona esté enferma.