¿Qué es la distribución binomial y cuándo se aplica?

La distribución **binomial** B(n, p) es una distribución de probabilidad **discreta** que modeliza el número de éxitos en n ensayos **independientes**, donde cada ensayo tiene dos resultados posibles (éxito con probabilidad p, fracaso con probabilidad 1 - p) y p se mantiene **constante** en todos los ensayos. Se aplica en lanzamientos de moneda repetidos, control de calidad de un lote de piezas, número de respuestas correctas al azar en un test, número de enfermos en una muestra de pacientes tratados. Es la distribución discreta más frecuente en PAU.

¿Cómo se calcula $P(X = k)$ en una binomial?

Con la fórmula P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}, donde \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} es el número combinatorio. Sustituye n (total de ensayos), p (probabilidad de éxito en cada uno) y k (éxitos pedidos). Para probabilidades acumuladas, suma los casos: P(X \leq k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = k). Para "al menos k" usa el complementario: P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1).

¿Cuándo se puede aproximar una binomial por una normal?

Cuando n es **grande** y p no es demasiado próximo a 0 ni a 1. El criterio práctico estándar es np \geq 5 **y** n(1-p) \geq 5 (algunas CCAAs exigen además n \geq 30). Si se cumple, B(n, p) \approx N(np, \sqrt{np(1-p)}), es decir, la binomial se aproxima por una normal con media np y desviación \sqrt{np(1-p)}. La aproximación facilita enormemente los cálculos: en lugar de sumar muchos términos P(X = k) con la fórmula binomial, se hace una sola consulta a la tabla de la normal estándar.

¿Qué es la corrección por continuidad?

Es un ajuste **obligatorio** que se aplica al aproximar una distribución discreta (binomial) por una continua (normal). Como la binomial toma valores enteros y la normal toma valores continuos, hay que "ensanchar" cada entero k en medio intervalo a cada lado: P(X = k) \approx P(k - 0{,}5 k - 0{,}5). Sin corrección por continuidad la aproximación es sistemáticamente sesgada y el corrector penaliza hasta 0,5 puntos en casi todas las CCAAs.

¿Cuál es la diferencia entre la binomial y la normal?

La **binomial** B(n, p) es **discreta**: la variable toma solo valores enteros 0, 1, 2, \ldots, n y tiene sentido preguntar P(X = k) con valor exacto. La **normal** N(\mu, \sigma) es **continua**: la variable toma cualquier valor real y P(X = k) = 0 siempre (solo tienen sentido probabilidades en intervalos). La binomial se usa para "contar" éxitos en un número fijo de ensayos; la normal para variables que "miden" magnitudes continuas (alturas, tiempos, pesos). Se conectan mediante la aproximación binomial → normal con corrección por continuidad cuando n es grande.

Distribución binomial

16 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas CCSS

¿Qué es la distribución binomial en selectividad PAU?

La distribución binomial

B(n, p)

es la distribución de probabilidad discreta más importante de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las CCSS. Modeliza experimentos que consisten en

n

ensayos independientes, donde cada ensayo tiene dos resultados posibles (éxito con probabilidad

p

o fracaso con probabilidad

1 - p

), y la probabilidad

p

se mantiene constante en cada ensayo. Ejemplos típicos: número de caras al lanzar una moneda

n

veces, número de piezas defectuosas en un lote de

n

controles, número de respuestas correctas al azar en un test de

n

preguntas.

La fórmula clave es

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}

, donde

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

es el número combinatorio. Para probabilidades acumuladas se suman casos:

P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)

P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)

. Los parámetros relevantes son la media

E[X] = np

y la desviación típica

\sigma = \sqrt{np(1-p)}

.

Cuando

n

es grande, calcular probabilidades binomiales con la fórmula es tedioso (sumar muchos términos). Por eso se usa la aproximación a la normal: si

np \geq 5

n(1-p) \geq 5

, entonces

B(n, p) \approx N(np, \sqrt{np(1-p)})

. Al pasar de discreta a continua hay que aplicar la corrección por continuidad:

P(X = k) \approx P(k - 0{,}5 < Y < k + 0{,}5)

. El corrector valora identificar las tres condiciones (ensayos independientes, dos resultados,

p

constante), aplicar la fórmula correcta y, en aproximación, no olvidar la corrección por continuidad.

Fórmulas de distribución binomial en PAU 📋

Función de probabilidad binomial

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n

Probabilidad de obtener exactamente

k

éxitos en

n

ensayos. Es la fórmula central de toda la distribución binomial. Aplícala cuando el enunciado pida

P(X = k)

directamente.

Número combinatorio

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \, (n-k)!}

Cuenta las maneras distintas de elegir

k

ensayos exitosos entre los

n

. La calculadora científica lo calcula con la tecla

\binom{n}{k}

o `nCr`. Para

n

pequeño se hace a mano.

Media (esperanza)

E[X] = np

Número esperado de éxitos en

n

ensayos. Muchas preguntas PAU piden directamente este valor sin calcular probabilidades.

Desviación típica

\sigma = \sqrt{n \, p \, (1 - p)}

Mide la dispersión alrededor de la media. Imprescindible para la aproximación a la normal:

B(n, p) \approx N(np, \sigma)

Probabilidad acumulada y complementario

P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)

Cuando piden "al menos

k

éxitos", calcula por complementario sumando los pocos casos

0, 1, \ldots, k-1

y restando de 1. Ahorra muchas operaciones cuando

k

es grande.

Aproximación binomial → normal con corrección por continuidad

P(X = k) \approx P\!\left(k - 0{,}5 < Y < k + 0{,}5\right), \quad Y \sim N\!\left(np, \sqrt{np(1-p)}\right)

Cuando

np \geq 5

n(1-p) \geq 5

. La corrección

\pm 0{,}5

es OBLIGATORIA: al pasar de discreta (un punto) a continua (un intervalo), hay que "ensanchar" el punto

k

en medio entero a cada lado.

Cómo resolver problemas de distribución binomial paso a paso 📐

1
Verifica las tres condiciones de la binomial
Antes de aplicar la fórmula confirma: (1) número fijo de ensayos $n$ , (2) cada ensayo tiene dos resultados posibles (éxito/fracaso), (3) los ensayos son independientes y la probabilidad $p$ es constante. Si falla alguna, no es binomial. El corrector espera que indiques estas condiciones.
2
Identifica $n$ , $p$ y $k$ del enunciado
Lee con cuidado: $n$ es el total de ensayos (lanzamientos, piezas, encuestados), $p$ la probabilidad de éxito en cada uno (a veces dado en porcentaje — convertir a decimal), $k$ el número de éxitos que pide la pregunta. Escríbelos antes de calcular.
3
Identifica si piden $P(X = k)$ , $P(X \leq k)$ o $P(X \geq k)$
Frases típicas: "exactamente $k$ " → $P(X = k)$ ; "como mucho $k$ " o " $k$ o menos" → $P(X \leq k)$ ; "al menos $k$ " o " $k$ o más" → $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ ; "ninguno" → $P(X = 0)$ ; "alguno" → $1 - P(X = 0)$ .
4
Aplica la fórmula $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
Sustituye los valores. Si piden acumulada, suma término a término: $P(X \leq k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = k)$ . Para "al menos $k$ " usa el complementario para ahorrar operaciones cuando $k$ es grande.
5
Si $n$ es grande, aproxima por la normal con corrección por continuidad
Comprueba $np \geq 5$ y $n(1-p) \geq 5$ . Si se cumple, usa $Y \sim N(np, \sqrt{np(1-p)})$ . Aplica corrección por continuidad: $P(X = k) \approx P(k - 0{,}5 < Y < k + 0{,}5)$ , $P(X \leq k) \approx P(Y < k + 0{,}5)$ , $P(X \geq k) \approx P(Y > k - 0{,}5)$ . Luego tipifica y consulta la tabla.
6
Interpreta el resultado en el contexto
Escribe una frase final: "la probabilidad de que como mucho 3 piezas de 20 sean defectuosas es del 86,7%". Si la pregunta pide número esperado, indica "se espera que $np =$ XX piezas sean defectuosas, en promedio". Sin contexto pierdes ~0,25 puntos.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para la distribución binomial? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Cuando $k$ es grande relativo a $n$ , calcula por complementario: $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ . Si $n = 20$ y piden $P(X \geq 17)$ , es mucho más rápido calcular $P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = 16)$ por complementario… mejor aún, calcula $P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20)$ directamente.
✓
Para "alguno" o "al menos uno" usa $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$ . Es una fórmula directa que evita sumar todos los demás casos.
✓
La media $E[X] = np$ y la desviación $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ son preguntas frecuentes "sueltas" antes del cálculo de probabilidades. Calcúlalas al inicio aunque no te las pidan — pueden simplificar la aproximación posterior.
✓
Antes de aproximar a la normal, comprueba SIEMPRE que $np \geq 5$ y $n(1-p) \geq 5$ . Si no se cumple, la aproximación no es válida y hay que calcular con la fórmula binomial directamente.
✓
NUNCA olvides la corrección por continuidad al aproximar. Si la binomial dice $P(X = 8)$ , la normal aproximada dice $P(7{,}5 < Y < 8{,}5)$ — el "centro" del entero $8$ en medio intervalo.

Errores frecuentes al resolver problemas de distribución binomial que penalizan el corrector ⚠

×
Aplicar la fórmula binomial cuando los ensayos NO son independientes o $p$ NO es constante (típico: extraer bolas sin reposición — eso es hipergeométrica, no binomial).
×
Olvidar la corrección por continuidad al aproximar binomial → normal: penaliza hasta 0,5 puntos en la mayoría de CCAAs.
×
Confundir "exactamente $k$ " con "al menos $k$ " o "como mucho $k$ ": lectura errónea del enunciado que cambia toda la cuenta.
×
Confundir $p$ (probabilidad de éxito) con $1 - p$ (probabilidad de fracaso): si el enunciado dice "el 10% son defectuosas", entonces $p = 0{,}10$ para "defectuosa" como éxito.
×
Aproximar a la normal sin verificar que $np \geq 5$ y $n(1-p) \geq 5$ : si no se cumple, la aproximación es inválida y el corrector lo penaliza.

Preguntas frecuentes sobre distribución binomial en PAU 💬

¿Qué es la distribución binomial y cuándo se aplica?: La distribución binomial $B(n, p)$ es una distribución de probabilidad discreta que modeliza el número de éxitos en $n$ ensayos independientes, donde cada ensayo tiene dos resultados posibles (éxito con probabilidad $p$ , fracaso con probabilidad $1 - p$ ) y $p$ se mantiene constante en todos los ensayos. Se aplica en lanzamientos de moneda repetidos, control de calidad de un lote de piezas, número de respuestas correctas al azar en un test, número de enfermos en una muestra de pacientes tratados. Es la distribución discreta más frecuente en PAU.
¿Cómo se calcula $P(X = k)$ en una binomial?: Con la fórmula $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}$ , donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ es el número combinatorio. Sustituye $n$ (total de ensayos), $p$ (probabilidad de éxito en cada uno) y $k$ (éxitos pedidos). Para probabilidades acumuladas, suma los casos: $P(X \leq k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = k)$ . Para "al menos $k$ " usa el complementario: $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ .
¿Cuándo se puede aproximar una binomial por una normal?: Cuando $n$ es grande y $p$ no es demasiado próximo a 0 ni a 1. El criterio práctico estándar es $np \geq 5$ y $n(1-p) \geq 5$ (algunas CCAAs exigen además $n \geq 30$ ). Si se cumple, $B(n, p) \approx N(np, \sqrt{np(1-p)})$ , es decir, la binomial se aproxima por una normal con media $np$ y desviación $\sqrt{np(1-p)}$ . La aproximación facilita enormemente los cálculos: en lugar de sumar muchos términos $P(X = k)$ con la fórmula binomial, se hace una sola consulta a la tabla de la normal estándar.
¿Qué es la corrección por continuidad?: Es un ajuste obligatorio que se aplica al aproximar una distribución discreta (binomial) por una continua (normal). Como la binomial toma valores enteros y la normal toma valores continuos, hay que "ensanchar" cada entero $k$ en medio intervalo a cada lado: $P(X = k) \approx P(k - 0{,}5 < Y < k + 0{,}5)$ , $P(X \leq k) \approx P(Y < k + 0{,}5)$ , $P(X \geq k) \approx P(Y > k - 0{,}5)$ . Sin corrección por continuidad la aproximación es sistemáticamente sesgada y el corrector penaliza hasta 0,5 puntos en casi todas las CCAAs.
¿Cuál es la diferencia entre la binomial y la normal?: La binomial $B(n, p)$ es discreta: la variable toma solo valores enteros $0, 1, 2, \ldots, n$ y tiene sentido preguntar $P(X = k)$ con valor exacto. La normal $N(\mu, \sigma)$ es continua: la variable toma cualquier valor real y $P(X = k) = 0$ siempre (solo tienen sentido probabilidades en intervalos). La binomial se usa para "contar" éxitos en un número fijo de ensayos; la normal para variables que "miden" magnitudes continuas (alturas, tiempos, pesos). Se conectan mediante la aproximación binomial → normal con corrección por continuidad cuando $n$ es grande.

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Asumiendo que el comunicado de Pear es cierto, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que el número de smartphones defectuosos reportados en el hilo de @solo_reviews hubiese sido superior o igual a 11.

Obtenga un intervalo del 99% de confianza para la proporción de smartphones defectuosos a partir del hilo de @solo_reviews. ¿Es cuestionable la veracidad del comunicado de Pear?

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