¿Qué es la regla de Laplace y cuándo se aplica?

La regla de Laplace establece que en un experimento con resultados **equiprobables** (igualmente probables), la probabilidad de un suceso A es P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}. Se aplica solo cuando todos los resultados del espacio muestral tienen la misma probabilidad: dados no trucados, monedas equilibradas, urnas con bolas indistinguibles al tacto. NO se aplica si el enunciado indica que las probabilidades son distintas (por ejemplo, ruleta truncada o dado cargado).

¿Cuál es la diferencia entre sucesos incompatibles e independientes?

Es el error nº1 del bloque. **Incompatibles** significa que NO pueden ocurrir a la vez: P(A \cap B) = 0 (ej. sacar par e impar en un mismo dado). **Independientes** significa que la ocurrencia de uno no afecta a la del otro: P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) (ej. dos lanzamientos sucesivos de moneda). Dos sucesos con probabilidad positiva no pueden ser simultáneamente incompatibles e independientes — si lo fueran, P(A) \cdot P(B) = 0 obligaría a P(A) = 0 o P(B) = 0.

¿Cómo se calcula la probabilidad de la unión de dos sucesos?

Con la fórmula P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Si los sucesos son **incompatibles** (A \cap B = \emptyset), entonces P(A \cap B) = 0 y la fórmula se reduce a P(A \cup B) = P(A) + P(B). Para tres sucesos: P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) (inclusión-exclusión).

¿Cuándo es más fácil calcular la probabilidad del contrario?

Cuando el suceso original tiene **muchos casos favorables** y el contrario pocos. Frase clave: si el enunciado pregunta por "al menos uno", "alguno", "no todos", casi siempre conviene calcular el complementario. Ejemplo: "probabilidad de sacar al menos una cara en 5 lanzamientos" — el contrario es "ninguna cara" = (1/2)^5 = 1/32, así que la probabilidad pedida es 1 - 1/32 = 31/32.

Probabilidad básica

91 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas CCSS

¿Qué es la probabilidad básica en selectividad PAU?

La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un suceso aleatorio. En un experimento con

n

resultados igualmente probables, la probabilidad de un suceso

A

se calcula con la regla de Laplace:

P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}

. Toda probabilidad cumple

0 \leq P(A) \leq 1

, donde

P(\emptyset) = 0

(suceso imposible) y

P(\Omega) = 1

(suceso seguro).

En la PAU de Matemáticas CCSS la probabilidad básica aparece como apartado introductorio del problema: cálculo de

P(A)

P(\bar{A})

P(A \cup B)

o identificación de sucesos compatibles (

A \cap B \neq \emptyset

), incompatibles (

P(A \cap B) = 0

) e independientes (

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

). La propiedad más usada es

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

, que se reduce a

P(A) + P(B)

solo si son incompatibles.

El corrector valora la justificación: indicar el espacio muestral, contar bien los casos favorables y posibles, y usar las propiedades correctas (suceso contrario, leyes de De Morgan). Confundir sucesos incompatibles con independientes es el error más penalizado de este apartado.

Fórmulas de probabilidad básica en PAU 📋

Regla de Laplace

P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}

Cuando todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables (dados, monedas, urnas). NO aplica si los sucesos no son equiprobables — en ese caso hay que dar la probabilidad explícita en el enunciado.

Probabilidad del suceso contrario

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Atajo útil cuando es más fácil calcular la probabilidad del complementario que la del suceso directamente. Típico en "al menos uno" →

P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno})

Unión de dos sucesos

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Fórmula general. Si los sucesos son incompatibles,

P(A \cap B) = 0

y se reduce a

P(A) + P(B)

. NO confundir con independencia.

Sucesos independientes

A, B \text{ independientes} \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Caracterización de independencia. Aparece en experimentos en dos etapas con reemplazamiento (sacar bola, devolverla, sacar otra) o en lanzamientos sucesivos de dados/monedas.

Leyes de De Morgan (probabilidad)

P(\overline{A \cup B}) = P(\bar{A} \cap \bar{B}), \quad P(\overline{A \cap B}) = P(\bar{A} \cup \bar{B})

Para pasar de unión a intersección y viceversa con los complementarios. Útil cuando es más fácil calcular el contrario que el suceso original.

Cómo resolver problemas de probabilidad básica paso a paso 📐

1
Define el espacio muestral $\Omega$
Lista todos los resultados posibles del experimento. En un dado: $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ ; en dos monedas: $\Omega = \{CC, CX, XC, XX\}$ . Sin un espacio muestral claro, contar mal los casos posibles es inevitable.
2
Identifica el suceso $A$ y cuenta casos favorables
Traduce la pregunta a sucesos del espacio muestral. "Salir par" en un dado son los favorables $\{2,4,6\}$ (3 casos) sobre 6 posibles. Aplica Laplace: $P(A) = 3/6 = 1/2$ .
3
Verifica si los sucesos son compatibles, incompatibles o independientes
Pregunta clave del enunciado. Si pueden ocurrir a la vez → compatibles. Si no → incompatibles ( $P(A \cap B) = 0$ ). Si la ocurrencia de uno no altera la del otro → independientes ( $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ).
4
Aplica la fórmula de la unión
Usa siempre $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . El término $P(A \cap B)$ se calcula con la regla de la independencia (si lo son) o con probabilidad condicionada $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ .
5
Usa el complementario para "al menos uno"
Cuando el enunciado pide "probabilidad de que al menos uno" o "alguno", calcula el contrario (ninguno) y resta de 1. Atajo que evita sumar muchos casos: $P(\text{al menos un éxito}) = 1 - P(\text{ningún éxito})$ .

¿Qué trucos usa el corrector PAU para la probabilidad básica? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Si el enunciado dice "al menos uno" o "alguno" → calcula el complementario (ninguno) y resta de 1. Ahorra contar muchos casos.
✓
En lanzamientos de dos dados, el espacio muestral tiene 36 casos (no 21 ni 11). Cuenta pares ordenados $(i,j)$ , NO combinaciones sin orden.
✓
Para diferenciar incompatibles e independientes: pregúntate "¿pueden ocurrir a la vez?". Si NO → incompatibles. Si SÍ → puede que sean independientes o no (hay que calcular $P(A \cap B)$ y compararla con $P(A) \cdot P(B)$ ).
✓
Si te dan $P(A)$ , $P(B)$ y $P(A \cup B)$ , puedes despejar $P(A \cap B)$ usando la fórmula de la unión. Es un atajo típico cuando no te dan la intersección directamente.
✓
Recuerda: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ es la herramienta más rentable del bloque — se usa en casi todos los apartados.

Errores frecuentes al resolver problemas de probabilidad básica que penalizan el corrector ⚠

×
Confundir sucesos incompatibles con independientes: incompatibles tiene $P(A \cap B) = 0$ , independientes tiene $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . NO son lo mismo.
×
Sumar probabilidades como si los sucesos fueran incompatibles ( $P(A) + P(B)$ ) cuando en realidad son compatibles — hay que restar la intersección.
×
En "al menos uno" calcular $P(A) + P(B)$ directamente: si los sucesos no son incompatibles, esto cuenta dos veces la intersección.
×
Contar mal el espacio muestral: en dos dados son 36 casos (pares ordenados), no 21 ni 11.
×
Olvidar que la probabilidad está entre 0 y 1: si te sale un valor mayor que 1 o negativo, hay error en algún paso anterior.

Preguntas frecuentes sobre probabilidad básica en PAU 💬

¿Qué es la regla de Laplace y cuándo se aplica?: La regla de Laplace establece que en un experimento con resultados equiprobables (igualmente probables), la probabilidad de un suceso $A$ es $P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$ . Se aplica solo cuando todos los resultados del espacio muestral tienen la misma probabilidad: dados no trucados, monedas equilibradas, urnas con bolas indistinguibles al tacto. NO se aplica si el enunciado indica que las probabilidades son distintas (por ejemplo, ruleta truncada o dado cargado).
¿Cuál es la diferencia entre sucesos incompatibles e independientes?: Es el error nº1 del bloque. Incompatibles significa que NO pueden ocurrir a la vez: $P(A \cap B) = 0$ (ej. sacar par e impar en un mismo dado). Independientes significa que la ocurrencia de uno no afecta a la del otro: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ (ej. dos lanzamientos sucesivos de moneda). Dos sucesos con probabilidad positiva no pueden ser simultáneamente incompatibles e independientes — si lo fueran, $P(A) \cdot P(B) = 0$ obligaría a $P(A) = 0$ o $P(B) = 0$ .
¿Cómo se calcula la probabilidad de la unión de dos sucesos?: Con la fórmula $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Si los sucesos son incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ), entonces $P(A \cap B) = 0$ y la fórmula se reduce a $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Para tres sucesos: $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ (inclusión-exclusión).
¿Cuándo es más fácil calcular la probabilidad del contrario?: Cuando el suceso original tiene muchos casos favorables y el contrario pocos. Frase clave: si el enunciado pregunta por "al menos uno", "alguno", "no todos", casi siempre conviene calcular el complementario. Ejemplo: "probabilidad de sacar al menos una cara en 5 lanzamientos" — el contrario es "ninguna cara" = $(1/2)^5 = 1/32$ , así que la probabilidad pedida es $1 - 1/32 = 31/32$ .

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Probabilidad de que participe en al menos una actividad.

Probabilidad de que participe en limpieza pero no en plantacion.

Probabilidad de que participe en exactamente una actividad.

Si no participo en plantacion, probabilidad de que tampoco participe en limpieza.

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