¿Qué es la distribución normal y cuándo se aplica?

La distribución **normal** N(\mu, \sigma) es una distribución de probabilidad **continua** cuya gráfica es la campana de Gauss, simétrica respecto a la media \mu y con dispersión medida por la desviación típica \sigma. Se aplica para modelizar variables continuas que tienden a agruparse alrededor de un valor central: alturas y pesos de una población, notas de un examen, tiempos de espera, errores de medición, longitudes de piezas industriales. Es la base de la inferencia estadística porque, por el teorema central del límite, la media muestral de cualquier variable tiende a distribuirse normalmente cuando el tamaño de muestra es grande.

¿Cómo se calcula una probabilidad con la distribución normal?

En cuatro pasos: (1) Identifica \mu y \sigma del enunciado y la probabilidad pedida (por ejemplo P(X z) = 1 - \Phi(z) si piden cola derecha, o diferencia \Phi(b) - \Phi(a) si piden P(a < Z < b).

¿Por qué hay que tipificar antes de usar la tabla de la normal?

Porque la **tabla** solo está construida para la distribución **normal estándar** N(0, 1) (media 0, desviación 1). Cada distribución normal con \mu y \sigma distintos tendría que tener su propia tabla — imposible imprimir una por cada caso. La tipificación Z = \frac{X - \mu}{\sigma} es un **cambio de variable** que convierte cualquier X \sim N(\mu, \sigma) en una Z \sim N(0, 1) con la misma probabilidad acumulada. Una vez tipificado, los cálculos se hacen siempre en la tabla universal N(0,1).

¿Cuál es la diferencia entre la distribución normal y la binomial?

La **normal** N(\mu, \sigma) es **continua**: la variable toma cualquier valor real (alturas, tiempos, pesos) y se trabajan probabilidades en **intervalos** (la probabilidad de un valor exacto es 0). La **binomial** B(n, p) es **discreta**: la variable toma solo valores enteros entre 0 y n (número de éxitos en n ensayos) y se trabaja P(X = k) con la fórmula \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. Ambas se conectan por la **aproximación binomial → normal** cuando n es grande, aplicando corrección por continuidad.

¿Cómo se interpreta el valor que da la tabla de la normal?

La tabla devuelve \Phi(z) = P(Z \leq z) para Z \sim N(0, 1), es decir, la probabilidad acumulada **hasta** el valor z inclusive. Por ejemplo, \Phi(1{,}96) = 0{,}9750 significa que la probabilidad de que Z sea menor o igual que 1{,}96 es del 97,5%. Para encontrar otras probabilidades se combinan: P(Z > z) = 1 - \Phi(z), P(-z < Z < z) = 2\Phi(z) - 1, P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a).

Distribución normal

Q: ¿Por qué hay que tipificar antes de usar la tabla de la normal?

Porque la **tabla** solo está construida para la distribución **normal estándar** N(0, 1) (media 0, desviación 1). Cada distribución normal con \mu y \sigma distintos tendría que tener su propia tabla — imposible imprimir una por cada caso. La tipificación Z = \frac{X - \mu}{\sigma} es un **cambio de variable** que convierte cualquier X \sim N(\mu, \sigma) en una Z \sim N(0, 1) con la misma probabilidad acumulada. Una vez tipificado, los cálculos se hacen siempre en la tabla universal N(0,1).

Q: ¿Cuál es la diferencia entre la distribución normal y la binomial?

La **normal** N(\mu, \sigma) es **continua**: la variable toma cualquier valor real (alturas, tiempos, pesos) y se trabajan probabilidades en **intervalos** (la probabilidad de un valor exacto es 0). La **binomial** B(n, p) es **discreta**: la variable toma solo valores enteros entre 0 y n (número de éxitos en n ensayos) y se trabaja P(X = k) con la fórmula \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. Ambas se conectan por la **aproximación binomial → normal** cuando n es grande, aplicando corrección por continuidad.

Q: ¿Cómo se interpreta el valor que da la tabla de la normal?

La tabla devuelve \Phi(z) = P(Z \leq z) para Z \sim N(0, 1), es decir, la probabilidad acumulada **hasta** el valor z inclusive. Por ejemplo, \Phi(1{,}96) = 0{,}9750 significa que la probabilidad de que Z sea menor o igual que 1{,}96 es del 97,5%. Para encontrar otras probabilidades se combinan: P(Z > z) = 1 - \Phi(z), P(-z < Z < z) = 2\Phi(z) - 1, P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a).

54 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas CCSS

¿Qué es la distribución normal en selectividad PAU?

La distribución normal

N(\mu, \sigma)

es la distribución continua más importante de la estadística y aparece en TODAS las pruebas PAU de Matemáticas Aplicadas a las CCSS. Modeliza variables continuas que se distribuyen de forma simétrica respecto a su media

\mu

con dispersión medida por

\sigma

(desviación típica): alturas, pesos, tiempos de espera, notas de un examen, errores de medición. Su gráfica es la campana de Gauss.

La función de densidad es

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

, pero no se integra a mano en PAU — siempre se trabaja con la **tabla de la normal estándar

N(0,1)

adjunta al examen. La técnica clave es la tipificación**: cualquier

X \sim N(\mu, \sigma)

se transforma en

Z \sim N(0, 1)

mediante

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

, y luego se consulta la tabla.

El corrector valora: (1) identificar correctamente

\mu

\sigma

del enunciado, (2) plantear la tipificación con la fórmula explícita, (3) aplicar bien la simetría

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

y la propiedad

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

, (4) interpretar el resultado en el contexto. Los errores típicos son no tipificar (calcular

P(X < k)

directo de la tabla cuando

X

no es

N(0,1)

), confundir

\sigma

con

\sigma^2

, y olvidar la frase de interpretación final.

Fórmulas de distribución normal en PAU 📋

Función de densidad de

N(\mu, \sigma)

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}

Fórmula teórica de la campana de Gauss. En PAU NO se integra a mano: aparece como referencia en el formulario y para entender la forma simétrica, pero los cálculos se hacen tipificando.

Tipificación a

N(0,1)

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)

Paso obligatorio SIEMPRE antes de usar la tabla. Convierte cualquier

X \sim N(\mu, \sigma)

en una variable

Z

con media 0 y desviación 1, que sí se puede consultar en la tabla.

Probabilidad acumulada (definición de la tabla)

\Phi(z) = P(Z \leq z)

Lo que devuelve la tabla. Entras con un valor

z \geq 0

con dos decimales (fila = entero y primer decimal, columna = segundo decimal) y la celda da la probabilidad acumulada.

Simetría (para valores negativos)

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

La tabla solo da

z \geq 0

. Para

z

negativo aplica simetría. Ejemplo:

\Phi(-1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668

Cola derecha

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

Cuando piden "probabilidad de que la altura sea mayor que". Se hace por complementario porque la tabla devuelve

P(Z \leq z)

Probabilidad en un intervalo

P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Cuando piden "probabilidad de que el tiempo esté entre

a

b

". Diferencia de probabilidades acumuladas, ambas leídas de la tabla.

Cómo resolver problemas de distribución normal paso a paso 📐

1
Identifica $\mu$ y $\sigma$ del enunciado
Lee con atención: $\mu$ es la media (centro de la campana), $\sigma$ la desviación típica (no la varianza $\sigma^2$ ). Si el enunciado da $\sigma^2 = 9$ , entonces $\sigma = 3$ . Escríbelos en el lateral antes de seguir.
2
Plantea la probabilidad pedida
Identifica si es $P(X < k)$ , $P(X > k)$ , $P(a < X < b)$ o $P(X = k)$ . OJO: en una continua $P(X = k) = 0$ siempre — esa pregunta no tiene sentido salvo en aproximación de binomial. Escribe la probabilidad pedida con la notación clara.
3
Tipifica con $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
Aplica la fórmula a cada valor relevante. Ejemplo: si $X \sim N(170, 8)$ y piden $P(X < 180)$ , calcula $z = \frac{180 - 170}{8} = 1{,}25$ . Reescribe la probabilidad como $P(Z < 1{,}25)$ .
4
Consulta la tabla de la normal estándar
Para $z \geq 0$ , fila = primera cifra decimal incluida ( $1{,}2$ ), columna = segunda cifra ( $0{,}05$ ). Lee el valor (≈ $0{,}8944$ en el ejemplo). Si $z < 0$ , aplica simetría $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ antes.
5
Aplica simetría y complementario según el caso
Si piden cola derecha: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$ . Si piden $P(a < Z < b)$ : $\Phi(b) - \Phi(a)$ . Si $a$ o $b$ son negativos, usa simetría. Maneja las cuatro situaciones básicas con soltura — son las que aparecen en PAU.
6
Interpreta el resultado en el contexto del problema
Escribe una frase final del tipo "la probabilidad de que una persona elegida al azar mida más de 1,80 m es del 10,56%". Sin esta frase se pierde ~0,25 puntos en la mayoría de CCAAs (Andalucía, Cataluña, Madrid).

¿Qué trucos usa el corrector PAU para la distribución normal? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Antes de tipificar, dibuja la campana y sombrea la región pedida. Te ayuda a ver si la respuesta debe ser mayor o menor que 0,5 — sanity check rápido para detectar errores de signo.
✓
Recuerda que $P(Z < 0) = \Phi(0) = 0{,}5$ exactamente (la campana es simétrica). Si tu resultado está cerca de 0,5 cuando $z$ está cerca de 0, vas bien.
✓
Para $z$ grande (por encima de 3) la tabla suele dar $\Phi(z) \approx 1$ . Eso significa que la probabilidad de la cola derecha es prácticamente cero — útil cuando piden "casi imposible".
✓
Si el enunciado da varianza $\sigma^2$ en lugar de desviación, NO olvides hacer la raíz cuadrada: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ . Confundirlas cambia toda la tipificación.
✓
Cuando los $z$ resultantes no son exactos (ej. $z = 1{,}237$ ), redondea a dos decimales y usa el valor de la tabla más próximo. Algunas CCAAs (Andalucía) aceptan interpolación lineal entre dos celdas vecinas.

Errores frecuentes al resolver problemas de distribución normal que penalizan el corrector ⚠

×
No tipificar: aplicar la tabla $N(0,1)$ directamente a $X \sim N(\mu, \sigma)$ cuando $\mu \neq 0$ o $\sigma \neq 1$ (resultado completamente erróneo).
×
Confundir desviación típica $\sigma$ con varianza $\sigma^2$ : si el enunciado dice "varianza 4", entonces $\sigma = 2$ , no $\sigma = 4$ .
×
Olvidar la simetría para valores negativos: $\Phi(-1{,}5) \neq -\Phi(1{,}5)$ — la fórmula correcta es $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ .
×
Buscar valores negativos directamente en la tabla (la tabla estándar solo tiene $z \geq 0$ — los negativos siempre por simetría).
×
No interpretar el resultado en el contexto: dar solo un número sin frase explicativa penaliza ~0,25 puntos en Andalucía, Cataluña, Madrid y Castilla y León.

Preguntas frecuentes sobre distribución normal en PAU 💬

¿Qué es la distribución normal y cuándo se aplica?: La distribución normal $N(\mu, \sigma)$ es una distribución de probabilidad continua cuya gráfica es la campana de Gauss, simétrica respecto a la media $\mu$ y con dispersión medida por la desviación típica $\sigma$ . Se aplica para modelizar variables continuas que tienden a agruparse alrededor de un valor central: alturas y pesos de una población, notas de un examen, tiempos de espera, errores de medición, longitudes de piezas industriales. Es la base de la inferencia estadística porque, por el teorema central del límite, la media muestral de cualquier variable tiende a distribuirse normalmente cuando el tamaño de muestra es grande.
¿Cómo se calcula una probabilidad con la distribución normal?: En cuatro pasos: (1) Identifica $\mu$ y $\sigma$ del enunciado y la probabilidad pedida (por ejemplo $P(X < 180)$ ). (2) Tipifica el valor: $z = \frac{180 - \mu}{\sigma}$ , lo que transforma $X \sim N(\mu, \sigma)$ en $Z \sim N(0, 1)$ . (3) Consulta la tabla de la normal estándar para obtener $\Phi(z) = P(Z \leq z)$ . (4) Aplica simetría $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ si $z < 0$ , complementario $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$ si piden cola derecha, o diferencia $\Phi(b) - \Phi(a)$ si piden $P(a < Z < b)$ .
¿Por qué hay que tipificar antes de usar la tabla de la normal?: Porque la tabla solo está construida para la distribución normal estándar $N(0, 1)$ (media 0, desviación 1). Cada distribución normal con $\mu$ y $\sigma$ distintos tendría que tener su propia tabla — imposible imprimir una por cada caso. La tipificación $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ es un cambio de variable que convierte cualquier $X \sim N(\mu, \sigma)$ en una $Z \sim N(0, 1)$ con la misma probabilidad acumulada. Una vez tipificado, los cálculos se hacen siempre en la tabla universal $N(0,1)$ .
¿Cuál es la diferencia entre la distribución normal y la binomial?: La normal $N(\mu, \sigma)$ es continua: la variable toma cualquier valor real (alturas, tiempos, pesos) y se trabajan probabilidades en intervalos (la probabilidad de un valor exacto es 0). La binomial $B(n, p)$ es discreta: la variable toma solo valores enteros entre 0 y $n$ (número de éxitos en $n$ ensayos) y se trabaja $P(X = k)$ con la fórmula $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ . Ambas se conectan por la aproximación binomial → normal cuando $n$ es grande, aplicando corrección por continuidad.
¿Cómo se interpreta el valor que da la tabla de la normal?: La tabla devuelve $\Phi(z) = P(Z \leq z)$ para $Z \sim N(0, 1)$ , es decir, la probabilidad acumulada hasta el valor $z$ inclusive. Por ejemplo, $\Phi(1{,}96) = 0{,}9750$ significa que la probabilidad de que $Z$ sea menor o igual que $1{,}96$ es del 97,5%. Para encontrar otras probabilidades se combinan: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$ , $P(-z < Z < z) = 2\Phi(z) - 1$ , $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$ .

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