¿Cómo se calcula la probabilidad condicionada $P(A|B)$?

Con la fórmula P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, válida siempre que P(B) \neq 0. El numerador es la probabilidad de que ocurran **ambos** sucesos (intersección), y el denominador es la probabilidad del suceso **condicionante** (el que va detrás de la barra). En tablas de contingencia con frecuencias se reduce a P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}: la celda intersección dividida por el total de la fila/columna del condicionante.

¿Cuándo uso diagrama de árbol y cuándo tabla de contingencia?

Usa **diagrama de árbol** cuando el experimento tiene **etapas sucesivas**: primero elegir urna y luego extraer bola, primero elegir fábrica y luego comprobar defecto, primero seleccionar persona y luego preguntar respuesta. Usa **tabla de contingencia 2×2** cuando el enunciado da directamente frecuencias o porcentajes cruzados de dos variables (sexo × hábito, edad × voto). Regla práctica: si te dan probabilidades condicionadas en cascada → árbol; si te dan recuentos cruzados → tabla.

¿Qué es el teorema de la probabilidad total y cuándo se aplica?

El teorema de la probabilidad total dice que si A_1, A_2, \ldots, A_n son **sucesos disjuntos** (incompatibles dos a dos) que cubren todo el espacio muestral (su unión es \Omega), entonces para cualquier suceso B: P(B) = \sum P(A_i) \cdot P(B|A_i). Se aplica cuando B puede ocurrir por varias **causas alternativas**: ej. "una pieza puede venir de la fábrica A, B o C, cada una con su tasa de defectos — ¿cuál es la probabilidad global de que sea defectuosa?". Es el paso obligatorio antes de aplicar Bayes.

¿Cómo sé si dos sucesos son independientes a partir de una tabla?

Calcula P(A) (marginal — total fila/total), P(B) (marginal — total columna/total) y P(A \cap B) (celda intersección/total). Si P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B), son **independientes**. Equivalentemente, son independientes si P(A|B) = P(A) — es decir, si conocer B no cambia la probabilidad de A. En tablas reales los valores casi nunca cuadran perfectamente; en PAU sí cuadran exactos.

¿Qué pasa si $P(B) = 0$ en la fórmula de la condicionada?

La probabilidad P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} **no está definida** cuando P(B) = 0, porque no se puede condicionar sobre un suceso imposible. En la PAU este caso no aparece (los enunciados siempre dan condiciones con probabilidad positiva), pero conviene saberlo: si te sale denominador cero, hay un error en la interpretación del enunciado.

Probabilidad condicionada

204 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas CCSS

¿Qué es la probabilidad condicionada en selectividad PAU?

La probabilidad condicionada

P(A|B)

es la probabilidad de que ocurra el suceso

A

sabiendo que ya ha ocurrido el suceso

B

. Se calcula con la fórmula

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

, válida siempre que

P(B) \neq 0

. Es la herramienta central del bloque: a partir de ella se construyen el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes.

En la PAU CCSS los enunciados de condicionada se presentan en dos formatos: diagramas de árbol (cuando hay etapas sucesivas — primero elegir urna, después extraer bola) y tablas de contingencia 2×2 (cuando se cruzan dos variables — sexo × hábito, edad × respuesta). En ambos casos hay que identificar bien qué suceso es la condición ("sabiendo que..."). El teorema de la probabilidad total desglosa la probabilidad de un suceso

B

como suma ponderada por las causas:

P(B) = \sum P(A_i) \cdot P(B|A_i)

.

El corrector valora que el diagrama de árbol esté completo (todas las ramas etiquetadas con sus probabilidades y que sumen 1 en cada nivel), que se identifique correctamente qué probabilidad es condicionada y cuál es marginal, y que se justifique la aplicación del teorema de la probabilidad total con la fórmula explícita.

Fórmulas de probabilidad condicionada en PAU 📋

Probabilidad condicionada (definición)

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \neq 0

Definición. Úsala cuando el enunciado dice "sabiendo que B", "dado B" o "si ha ocurrido B". El denominador es la probabilidad del suceso condicionante (NO la del que preguntas).

Probabilidad de la intersección (regla del producto)

P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)

Para calcular la intersección cuando se conoce la condicionada. Es la fórmula de las ramas del diagrama de árbol: multiplicas probabilidades a lo largo del camino.

Teorema de la probabilidad total

P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)

Cuando las causas

A_1, A_2, \ldots, A_n

son disjuntas y cubren todo el espacio muestral (sistema completo). Es el paso previo OBLIGATORIO antes de Bayes.

Independencia y condicionada

A, B \text{ independientes} \iff P(A|B) = P(A)

Caracterización equivalente de independencia: la condición

B

no aporta información sobre

A

. Útil para verificar independencia a partir de tablas o árboles.

Tabla de contingencia 2×2 (probabilidad condicionada)

P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}

Cuando los datos vienen en frecuencias (recuentos en tabla 2×2), la probabilidad condicionada es el cociente entre la celda intersección y el total de la fila/columna del suceso condicionante.

Cómo resolver problemas de probabilidad condicionada paso a paso 📐

1
Identifica qué suceso es la condición
Lee con cuidado. "Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de fábrica A" → la condición es "defectuosa". En $P(A|B)$ , $B$ va detrás de la barra. Confundir el orden cambia el resultado totalmente.
2
Si hay dos etapas → diagrama de árbol
Dibuja el árbol con primera etapa (elegir urna, fábrica, etc.) y segunda etapa (resultado dentro de cada rama). Etiqueta cada rama con su probabilidad. Las probabilidades de cada nivel deben sumar 1.
3
Si hay dos variables cruzadas → tabla de contingencia
Construye la tabla 2×2 con frecuencias absolutas o relativas. Añade totales por fila y columna. La probabilidad condicionada es el cociente entre la celda intersección y el total de la fila/columna correspondiente al condicionante.
4
Aplica la fórmula $P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$
Calcula numerador (intersección — recorre las ramas del árbol que cumplen $A$ y $B$ ) y denominador (probabilidad del condicionante). Sustituye y simplifica.
5
Para probabilidad total: suma sobre todas las causas
Si $B$ puede ocurrir por varias causas $A_1, A_2, \ldots$ : $P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + \ldots$ . En el árbol, suma los productos de todas las ramas que llevan a $B$ .
6
Verifica con sentido común
La probabilidad condicionada debe estar entre 0 y 1. Si el resultado parece raro (muy próximo a 0 o a 1 cuando intuitivamente no debería), revisa el orden $P(A|B)$ vs $P(B|A)$ y comprueba que el denominador es correcto.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para la probabilidad condicionada? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
En diagramas de árbol, la probabilidad de cada camino es el producto de las probabilidades de sus ramas. Para sucesos compuestos suma los caminos relevantes.
✓
En tablas de contingencia, condicionar significa fijar la fila o columna del condicionante y dividir por su total: $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ — no por el total de la tabla.
✓
Si el árbol tiene más de tres niveles, considera reorganizar las etapas para que la primera sea la condición que más se usa después. Ahorra cálculos.
✓
Atención al lenguaje: " $P(A$ y $B)$ " = intersección, " $P(A$ dado $B)$ " o "sabiendo $B$ " = condicionada. El "y" implica que ambos ocurren; "dado" fija una condición previa.
✓
Comprueba siempre que las probabilidades de cada nivel del árbol suman 1. Si no, hay un error en la lectura del enunciado.

Errores frecuentes al resolver problemas de probabilidad condicionada que penalizan el corrector ⚠

×
Confundir $P(A|B)$ con $P(B|A)$ — son distintas (Bayes precisamente sirve para relacionarlas).
×
Dividir por el denominador equivocado: en $P(A|B)$ , el denominador es $P(B)$ (la condición), NO $P(A)$ .
×
En tablas de contingencia, dividir por el total de la tabla en lugar de por el total de la fila/columna del condicionante. Esa división da la marginal, no la condicionada.
×
Olvidar que las ramas de cada nivel del árbol deben sumar 1: si la primera etapa son urnas A, B, C, debe cumplirse $P(A) + P(B) + P(C) = 1$ .
×
En probabilidad total, sumar las condicionadas $\sum P(B|A_i)$ sin ponderar por $P(A_i)$ — la fórmula correcta es $\sum P(A_i) \cdot P(B|A_i)$ .

Preguntas frecuentes sobre probabilidad condicionada en PAU 💬

¿Cómo se calcula la probabilidad condicionada $P(A|B)$?: Con la fórmula $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , válida siempre que $P(B) \neq 0$ . El numerador es la probabilidad de que ocurran ambos sucesos (intersección), y el denominador es la probabilidad del suceso condicionante (el que va detrás de la barra). En tablas de contingencia con frecuencias se reduce a $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ : la celda intersección dividida por el total de la fila/columna del condicionante.
¿Cuándo uso diagrama de árbol y cuándo tabla de contingencia?: Usa diagrama de árbol cuando el experimento tiene etapas sucesivas: primero elegir urna y luego extraer bola, primero elegir fábrica y luego comprobar defecto, primero seleccionar persona y luego preguntar respuesta. Usa tabla de contingencia 2×2 cuando el enunciado da directamente frecuencias o porcentajes cruzados de dos variables (sexo × hábito, edad × voto). Regla práctica: si te dan probabilidades condicionadas en cascada → árbol; si te dan recuentos cruzados → tabla.
¿Qué es el teorema de la probabilidad total y cuándo se aplica?: El teorema de la probabilidad total dice que si $A_1, A_2, \ldots, A_n$ son sucesos disjuntos (incompatibles dos a dos) que cubren todo el espacio muestral (su unión es $\Omega$ ), entonces para cualquier suceso $B$ : $P(B) = \sum P(A_i) \cdot P(B|A_i)$ . Se aplica cuando $B$ puede ocurrir por varias causas alternativas: ej. "una pieza puede venir de la fábrica A, B o C, cada una con su tasa de defectos — ¿cuál es la probabilidad global de que sea defectuosa?". Es el paso obligatorio antes de aplicar Bayes.
¿Cómo sé si dos sucesos son independientes a partir de una tabla?: Calcula $P(A)$ (marginal — total fila/total), $P(B)$ (marginal — total columna/total) y $P(A \cap B)$ (celda intersección/total). Si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ , son independientes. Equivalentemente, son independientes si $P(A|B) = P(A)$ — es decir, si conocer $B$ no cambia la probabilidad de $A$ . En tablas reales los valores casi nunca cuadran perfectamente; en PAU sí cuadran exactos.
¿Qué pasa si $P(B) = 0$ en la fórmula de la condicionada?: La probabilidad $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ no está definida cuando $P(B) = 0$ , porque no se puede condicionar sobre un suceso imposible. En la PAU este caso no aparece (los enunciados siempre dan condiciones con probabilidad positiva), pero conviene saberlo: si te sale denominador cero, hay un error en la interpretación del enunciado.

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	Españoles	Extranjeros
Hombres	$20{,}6$ millones	$3{,}0$ millones
Mujeres	$21{,}2$ millones	$3{,}3$ millones

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