¿Qué es el teorema de Bayes y para qué sirve?

El teorema de Bayes permite **invertir una probabilidad condicionada**: pasar de P(B|A_i) (probabilidad del resultado dada la causa) a P(A_i|B) (probabilidad de la causa dado el resultado). Su fórmula es P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}, donde P(B) se calcula con probabilidad total. Sirve para responder preguntas tipo "sabiendo que la pieza es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que viniera de la fábrica A?" o "sabiendo que el test ha dado positivo, ¿probabilidad de estar realmente enfermo?".

¿Cómo identifico si tengo que aplicar Bayes en un problema?

Cuando el enunciado pregunta por una **probabilidad invertida**: te dan las probabilidades del resultado dadas las causas y te piden la probabilidad de una causa dado el resultado. Frases típicas: *"sabiendo que ha resultado defectuosa..."*, *"si el test ha dado positivo..."*, *"dado que la bola extraída es roja..."*, *"sabiendo que la respuesta es sí..."*. Cualquier "sabiendo que" o "dado que" al inicio de la pregunta delata un Bayes.

¿Cuál es la diferencia entre probabilidad a priori y a posteriori?

La **probabilidad a priori** P(A_i) es la probabilidad de la causa **antes** de observar el resultado (la proporción que viene del enunciado: el 60% de las piezas son de la fábrica A). La **probabilidad a posteriori** P(A_i|B) es la probabilidad de la causa **después** de observar el resultado, recalculada con la información nueva: una vez sé que la pieza es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que viniera de A? Bayes calcula precisamente la a posteriori a partir de la a priori y de la verosimilitud P(B|A_i).

¿Cómo se aplica Bayes con un diagrama de árbol?

Dibuja el árbol con primera etapa = causas A_i (con sus P(A_i)) y segunda etapa = resultado/no-resultado dadas cada causa (con sus P(B|A_i)). Para aplicar Bayes: (1) Identifica el camino concreto que va por A_i y luego B: su probabilidad es P(A_i) \cdot P(B|A_i). (2) Calcula P(B) sumando los productos de TODOS los caminos que terminan en B. (3) Aplica P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)} — numerador = camino concreto, denominador = suma de todos los caminos a B.

¿Qué pasa si la suma de probabilidades a posteriori no da 1?

Las probabilidades a posteriori P(A_i|B) sobre todas las causas A_i **deben sumar 1** (porque las causas forman un sistema completo). Si no suman 1, hay un error: revisa P(B) (suele ser el más afectado por errores aritméticos), comprueba que las P(A_i) a priori suman 1, y verifica que has multiplicado por la condicionada correcta en cada numerador. Esta verificación es una forma rápida de detectar errores antes de entregar.

Teorema de Bayes

108 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas CCSS

¿Qué es el teorema de Bayes en selectividad PAU?

El teorema de Bayes permite invertir la probabilidad: conocido el resultado de un experimento, calcular la probabilidad de cuál fue la causa que lo originó. Su fórmula es

P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}

, donde

P(B)

se calcula a su vez por el teorema de la probabilidad total. Es el apartado final del problema típico de PAU CCSS (aparte c, vale típicamente 1 punto sobre 2,5).

En la PAU los enunciados clásicos de Bayes son: fábricas con piezas defectuosas (conocida una pieza defectuosa, ¿de qué fábrica salió?), tests médicos con falsos positivos (sabiendo que el test ha dado positivo, ¿probabilidad de estar realmente enfermo?), urnas mixtas (sabiendo que la bola es roja, ¿de qué urna se extrajo?) y encuestas (sabiendo que la respuesta es afirmativa, ¿probabilidad de que sea hombre?). Los datos del enunciado siempre te dan las probabilidades de las causas

P(A_i)

("probabilidades a priori") y las probabilidades condicionadas

P(B|A_i)

(cómo de probable es el resultado dada cada causa).

El corrector valora que se identifique correctamente cuáles son las causas (

A_i

) y cuál el resultado (

B

), que se aplique primero el teorema de la probabilidad total para calcular

P(B)

, que se escriba la fórmula de Bayes completa antes de sustituir, y que se interprete el resultado en el contexto del problema. Confundir

P(A_i|B)

con

P(B|A_i)

es el error que más penaliza — Bayes precisamente existe para distinguirlos.

Fórmulas de teorema de Bayes en PAU 📋

Teorema de Bayes

P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}

Forma compacta. El denominador

P(B)

se calcula con probabilidad total. Aplícalo cuando el enunciado pregunta por una probabilidad condicionada invertida ("sabiendo el resultado, probabilidad de la causa").

Bayes desarrollado (con probabilidad total)

P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j) \cdot P(B|A_j)}

Forma completa con el denominador explícito. Es la fórmula que conviene escribir antes de sustituir valores, para que el corrector vea que dominas la estructura.

Caso particular: dos causas

P(A_1|B) = \frac{P(A_1) \cdot P(B|A_1)}{P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2)}

Cuando solo hay dos causas (típico en tests médicos: enfermo/sano, o en urnas: urna 1/urna 2). Comprueba que

P(A_1) + P(A_2) = 1

Probabilidad total (recordatorio)

P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)

Paso previo obligatorio. Sin calcular

P(B)

no se puede aplicar Bayes. Aunque te lo pidan directamente, escribe esta fórmula antes.

Cómo resolver problemas de teorema de Bayes paso a paso 📐

1
Identifica las causas $A_i$ y el resultado $B$
Las causas son los sucesos previos (fábricas, urnas, estado de salud, sexo de la persona). El resultado es lo que se observa después (pieza defectuosa, bola roja, test positivo). Bayes invierte la dirección: dado el resultado, ¿qué causa?
2
Anota los datos del enunciado
Lista las probabilidades a priori $P(A_i)$ (proporción de cada causa) y las probabilidades condicionadas $P(B|A_i)$ (probabilidad del resultado dada cada causa). Verifica que las $P(A_i)$ suman 1.
3
Calcula $P(B)$ por probabilidad total
Aplica $P(B) = \sum P(A_i) \cdot P(B|A_i)$ . Escribe la fórmula explícita y sustituye. Este número es clave porque va en el denominador de Bayes.
4
Aplica la fórmula de Bayes
Sustituye en $P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}$ . El numerador es el producto de la a priori por la condicionada de la causa concreta que te preguntan; el denominador es el $P(B)$ ya calculado.
5
Verifica con suma de probabilidades a posteriori
Si calculas $P(A_i|B)$ para todas las causas, deben sumar 1: $\sum P(A_i|B) = 1$ . Es una verificación útil para detectar errores aritméticos.
6
Interpreta el resultado en el contexto
Da una frase final con sentido: "la probabilidad de que la pieza defectuosa venga de la fábrica A es del 35%". El corrector valora la interpretación — no basta dar el número.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para el teorema de Bayes? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Escribe SIEMPRE la fórmula de Bayes completa antes de sustituir números — el corrector da puntos por la formulación correcta aunque el cálculo final tenga un error aritmético.
✓
Verifica que las probabilidades a priori $P(A_i)$ suman 1 antes de empezar. Si no suman 1, hay un error de lectura del enunciado.
✓
Si calculas $P(A_i|B)$ para todas las causas, comprueba que suman 1. Si no, revisa $P(B)$ o las multiplicaciones.
✓
En problemas de tests médicos, los falsos positivos son $P(\text{positivo}|\text{sano})$ y los falsos negativos son $P(\text{negativo}|\text{enfermo})$ . Identifícalos bien en el enunciado.
✓
Reutiliza el árbol que dibujaste para probabilidad total: las ramas que llevan al resultado $B$ multiplicadas por $P(A_i)$ son exactamente el numerador de Bayes.

Errores frecuentes al resolver problemas de teorema de Bayes que penalizan el corrector ⚠

×
Confundir $P(A_i|B)$ con $P(B|A_i)$ — son cantidades distintas. Bayes precisamente existe para relacionarlas; no son la misma probabilidad.
×
Aplicar Bayes sin calcular antes $P(B)$ por probabilidad total — el denominador queda vacío o mal calculado.
×
Olvidar multiplicar por la probabilidad a priori $P(A_i)$ en el numerador. La fórmula es $P(A_i) \cdot P(B|A_i)$ , no solo $P(B|A_i)$ .
×
En problemas con dos causas, comprobar que $P(A_1) + P(A_2) = 1$ . Si no suman 1 hay un error en el enunciado o en la lectura.
×
No interpretar el resultado en el contexto del problema — los correctores penalizan dar solo el número sin la frase explicativa.

Preguntas frecuentes sobre teorema de Bayes en PAU 💬

¿Qué es el teorema de Bayes y para qué sirve?: El teorema de Bayes permite invertir una probabilidad condicionada: pasar de $P(B|A_i)$ (probabilidad del resultado dada la causa) a $P(A_i|B)$ (probabilidad de la causa dado el resultado). Su fórmula es $P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}$ , donde $P(B)$ se calcula con probabilidad total. Sirve para responder preguntas tipo "sabiendo que la pieza es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que viniera de la fábrica A?" o "sabiendo que el test ha dado positivo, ¿probabilidad de estar realmente enfermo?".
¿Cómo identifico si tengo que aplicar Bayes en un problema?: Cuando el enunciado pregunta por una probabilidad invertida: te dan las probabilidades del resultado dadas las causas y te piden la probabilidad de una causa dado el resultado. Frases típicas: "sabiendo que ha resultado defectuosa...", "si el test ha dado positivo...", "dado que la bola extraída es roja...", "sabiendo que la respuesta es sí...". Cualquier "sabiendo que" o "dado que" al inicio de la pregunta delata un Bayes.
¿Cuál es la diferencia entre probabilidad a priori y a posteriori?: La probabilidad a priori $P(A_i)$ es la probabilidad de la causa antes de observar el resultado (la proporción que viene del enunciado: el 60% de las piezas son de la fábrica A). La probabilidad a posteriori $P(A_i|B)$ es la probabilidad de la causa después de observar el resultado, recalculada con la información nueva: una vez sé que la pieza es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que viniera de A? Bayes calcula precisamente la a posteriori a partir de la a priori y de la verosimilitud $P(B|A_i)$ .
¿Cómo se aplica Bayes con un diagrama de árbol?: Dibuja el árbol con primera etapa = causas $A_i$ (con sus $P(A_i)$ ) y segunda etapa = resultado/no-resultado dadas cada causa (con sus $P(B|A_i)$ ). Para aplicar Bayes: (1) Identifica el camino concreto que va por $A_i$ y luego $B$ : su probabilidad es $P(A_i) \cdot P(B|A_i)$ . (2) Calcula $P(B)$ sumando los productos de TODOS los caminos que terminan en $B$ . (3) Aplica $P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}$ — numerador = camino concreto, denominador = suma de todos los caminos a $B$ .
¿Qué pasa si la suma de probabilidades a posteriori no da 1?: Las probabilidades a posteriori $P(A_i|B)$ sobre todas las causas $A_i$ deben sumar 1 (porque las causas forman un sistema completo). Si no suman 1, hay un error: revisa $P(B)$ (suele ser el más afectado por errores aritméticos), comprueba que las $P(A_i)$ a priori suman 1, y verifica que has multiplicado por la condicionada correcta en cada numerador. Esta verificación es una forma rápida de detectar errores antes de entregar.

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