Sea la igualdad matricial $M\cdot X=N$, donde $$M=\begin{pmatrix}k & 2k & 2\\ -1 & k & 1\\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$ y $$N=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$$.
a) ¿Cuantas filas y columnas debe tener la matriz $X$? (Justificar la respuesta). (0,5 puntos)
b) ¿Para que valores de $k\in\mathbb{R}$ es la matriz $M$ invertible? (1 punto)
c) ¿Puede ser $M\cdot N$ invertible para algun valor de $k\in\mathbb{R}$? (0,5 puntos)

Discutir y resolver (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funcion del parametro $a\in\mathbb{R}$:
$$\begin{cases}ax+y=1\\ x+ay=a\\ ax+2y=1\end{cases}$$ (2 puntos)

Sean las rectas $r$ y $s$ dadas por $$r:\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=2-3\lambda\\ z=1\end{cases}$$, $$s:\begin{cases}x+y+z=2\\ x-y-z=4\end{cases}$$.
a) Obtener un plano $\Pi$ que contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$. (1 punto)
b) Calcular la distancia entre las dos rectas. (1 punto)

Calcular un vector de modulo 3 que sea perpendicular a los vectores $\vec{u}=(1,1,-1)$ y $\vec{v}=(2,1,0)$. (2 puntos)

a) Estudiar la continuidad de la siguiente funcion $f(x)$ para $x\neq 0$ (con $a\in\mathbb{R}$): (0,5 puntos)
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{e^x-1-x}{x^2} & \text{si } x\neq 0\\ a & \text{si } x=0\end{cases}$$
b) Calcular el valor de $a$ para que la funcion $f(x)$ sea continua en $x=0$. (1,5 puntos)

Sea la funcion $f(x)=\dfrac{2-x^2}{x^2-4}$.
a) Estudiar las asintotas, monotonia y puntos extremos de la funcion $f(x)$. (1,5 puntos)
b) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la grafica de $f(x)$. (0,5 puntos)

Resolver la integral $\displaystyle\int\ln^2(x)\,dx$. (2 puntos)

Dadas las funciones $f(x)=3x-x^2$ y $g(x)=x^2-2x$, calcular el area de la region limitada por sus graficas. (2 puntos)

En un estudio a 1.000 estudiantes europeos, 500 saben hablar ingles, 300 saben hablar español, y 100 de ellos hablan los dos idiomas. Se elige un estudiante al azar del estudio:
a) Calcular la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas. (1 punto)
b) Calcular la probabilidad de que hable español, sabiendo que habla ingles. (1 punto)

La duracion de un Smartphone se ajusta a una normal de media 3 años y desviacion tipica de 1 año. El fabricante da una garantia de 3,5 años a sus Smartphone.
a) Calcular la probabilidad de que un Smartphone dure menos que la garantia. (1 punto)
b) Calcular la probabilidad de que un Smartphone dure mas de 5 años. (1 punto)