Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $$f(x)=\begin{cases} a(x^2+\dfrac{5x}{2})-2, & x<3\\ \ln(b(x-2)), & x\geq 3\end{cases}$$ sea continua. Calcular la recta tangente en el punto $x=3$.

Determinar el dominio y las asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x+3}{(x+2)^2}$. Calcular las rectas tangentes en los puntos donde la derivada se anula.

Calcular el área del recinto limitado por las funciones $f$ y $g$, siendo $f(x)=\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{x}{3}-2$, $g(x)=-(x-2)^2-1$.

Discutir y resolver según el valor del parámetro real $a$, el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} (a-1)x+y+az=a\\ ax+ay=a\\ (a-1)x+y+(a-1)z=2a+1\end{cases}$$

Calcular el siguiente determinante: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ x & y & z & t\\ x^2 & y^2 & z^2 & t^2\\ x^4 & y^4 & z^4 & t^4\end{vmatrix}$$.

Dada la matriz $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ m & 0 & 1\end{pmatrix}$$, $m\in\mathbb{R}$. Hallar $A^{-1}$ y $A^{100}$.

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta $$r:\begin{cases} x+3y-4z+9=0\\ -x-3y+z+0=0\end{cases}$$ y es perpendicular al plano $\pi\equiv x+3y+z+1=0$.

Dadas las rectas $r$ y $s$: $r:\dfrac{x+y-z=1}{4x-3y+2z=10}$, $s:\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-1}{3}$. a) Hallar $r$ y $s$. b) Calcular la distancia entre $r$ y $s$.

La estancia vacacional de una familia en un hotel sigue una distribución Normal de media 15 días y desviación típica 4 días. a) Calcular la probabilidad de que la estancia de una familia sea inferior a 10 días. b) Calcular la probabilidad de que su estancia esté comprendida entre 11 y 19 días.

En una clase de 35 alumnos, asisten 80% de los alumnos que aprueban todas las asignaturas y el 50% de los que asisten a clase y el 10% de los que no asisten. Se elige un alumno al azar. a) Calcular el porcentaje de alumnos que aprueba la asignatura. b) Sabiendo que el alumno ha suspendido, calcular la probabilidad de que un alumno haya asistido a clase.