¿Qué son los intervalos de confianza en estadística?

Un **intervalo de confianza** es un rango de valores, calculado a partir de los datos de una muestra, dentro del cual se estima que se encuentra un parámetro poblacional (la media \mu, una proporción p, una varianza...) con un **nivel de confianza** prefijado, típicamente 90%, 95% o 99%. Por ejemplo, un intervalo del 95% de confianza para la media significa que si repitiéramos el muestreo muchas veces, aproximadamente el 95% de los intervalos construidos contendrían la verdadera media poblacional.

¿Cómo se calcula un intervalo de confianza para la media?

Con la fórmula \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, donde \bar{x} es la media muestral, \sigma la desviación típica poblacional, n el tamaño de la muestra y z_{\alpha/2} el valor crítico de la N(0,1) asociado al nivel de confianza. Pasos: (1) identifica \bar{x}, \sigma, n y el nivel de confianza, (2) busca z_{\alpha/2} en la tabla (1,96 para 95%, 2,575 para 99%), (3) calcula el error E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, (4) escribe el intervalo (\bar{x}-E, \bar{x}+E) y (5) interprétalo en el contexto del problema.

¿Cómo calculo el tamaño muestral mínimo necesario?

Despeja n de la fórmula del error máximo admisible. Para la media: n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^2. Para una proporción: n \geq \frac{z_{\alpha/2}^{\,2}\cdot\hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}. **Redondea SIEMPRE hacia arriba**: si sale n \geq 245{,}7, el mínimo entero válido es n = 246. Si no conoces \hat{p} a priori, usa el caso más desfavorable \hat{p} = 0{,}5 (maximiza el producto \hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}25).

¿Qué nivel de confianza debo elegir para un intervalo?

En PAU el nivel de confianza **lo da el enunciado** — no se elige. Los niveles típicos son 90%, 95% (el más común) y 99%. A mayor nivel de confianza, mayor seguridad de que el intervalo contiene el parámetro real, pero **más ancho** será el intervalo (menos preciso). Si te piden "elegir uno", justifica con el contexto: para decisiones críticas (medicina, control de calidad) se usa 99%; para encuestas y estudios sociales basta con 95%. Para sondeos políticos a veces se trabaja con 90%.

¿Cuál es la diferencia entre error máximo admisible y amplitud del intervalo?

El **error máximo admisible** E es la distancia entre el centro del intervalo (la media muestral \bar{x}) y cualquiera de sus extremos: E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}. La **amplitud** del intervalo es la distancia entre sus dos extremos: amplitud = 2E. Confundirlos es un error frecuente: si el problema dice "el intervalo tiene amplitud 4", el error es E = 2, no E = 4. Lee siempre con atención cuál de las dos magnitudes te da el enunciado.

Intervalos de confianza

190 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas CCSS

¿Qué son intervalos de confianza en selectividad PAU?

Los intervalos de confianza son la pregunta más frecuente del bloque de inferencia estadística en la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Permiten estimar un parámetro poblacional (la media

\mu

o una proporción

p

) a partir de los datos de una muestra, dando un rango de valores plausibles junto con un nivel de confianza

1-\alpha

(típicamente 90%, 95% o 99%).

Para la media poblacional con desviación típica

\sigma

conocida, el intervalo es

\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

, donde

\bar{x}

es la media muestral,

n

el tamaño de la muestra y

z_{\alpha/2}

el valor crítico de la

N(0,1)

asociado al nivel de confianza. Para una proporción, el intervalo es

\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

. El error máximo admisible

E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

es la mitad de la amplitud del intervalo y mide la precisión de la estimación.

Un tipo de problema clásico pide calcular el tamaño muestral mínimo

n

necesario para que el error no supere un cierto valor

E_0

: despejando,

n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E_0}\right)^2

, redondeando SIEMPRE al entero superior. El corrector valora la justificación del valor crítico

z_{\alpha/2}

(leído de la tabla), la sustitución correcta en la fórmula, y la interpretación final del intervalo en el contexto del enunciado.

Fórmulas de intervalos de confianza en PAU 📋

Intervalo de confianza para la media (σ conocida)

IC = \left(\bar{x} - z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

Cuando se conoce la desviación típica poblacional

\sigma

(o se considera conocida por hipótesis del problema) y la muestra es grande o la población es normal. Fórmula más usada en PAU Mat CCSS.

Intervalo de confianza para una proporción

IC = \hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Cuando el parámetro a estimar es una proporción

p

(porcentaje, fracción).

\hat{p} = x/n

es la proporción muestral observada. Aparece en sondeos, encuestas y control de calidad.

Error máximo admisible

E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad \text{(amplitud del intervalo} = 2E\text{)}

Mide la precisión del intervalo. Si el ejercicio da la amplitud, el error es la mitad. Si pide "estimar con error menor que

E_0

", se usa este

E

para despejar

n

Tamaño muestral mínimo (media)

n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^2

Despejado de la fórmula del error. Redondea SIEMPRE hacia arriba (al entero inmediatamente superior) — un decimal de muestra no existe.

Tamaño muestral mínimo (proporción)

n \geq \frac{z_{\alpha/2}^{\,2}\cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Si no se conoce

\hat{p}

, se usa el caso más desfavorable

\hat{p} = 0{,}5

(maximiza el producto

\hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}25

Valores críticos

z_{\alpha/2}

típicos

\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Confianza} & z_{\alpha/2} \\ \hline 90\% & 1{,}645 \\ 95\% & 1{,}96 \\ 99\% & 2{,}575 \\ \hline\end{array}

Memoriza estos tres valores — son los que aparecen en el 95% de los exámenes PAU. El resto se busca en la tabla de la

N(0,1)

Cómo resolver intervalos de confianza paso a paso 📐

1
Identifica el parámetro y los datos del enunciado
¿Se pide intervalo para la media $\mu$ o para una proporción $p$ ? Anota $\bar{x}$ (o $\hat{p}$ ), $\sigma$ (si la dan), $n$ , y el nivel de confianza $1-\alpha$ . Esta lectura del enunciado es el paso más importante: equivocarse aquí invalida todo el cálculo.
2
Calcula $\alpha$ y busca $z_{\alpha/2}$ en la tabla
Si la confianza es $1-\alpha$ , entonces $\alpha/2$ es la cola superior. Para 95% → $\alpha = 0{,}05$ → $z_{\alpha/2} = 1{,}96$ . Para 99% → $z_{\alpha/2} = 2{,}575$ . Indica el valor leído de la tabla — el corrector valora esta justificación.
3
Aplica la fórmula del intervalo
Para la media: $\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Para proporción: $\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ . Sustituye numéricamente con cuidado — los errores aritméticos son la primera causa de pérdida de puntos.
4
Escribe el intervalo y redondea
Expresa el resultado como $(a, b)$ con 2-4 decimales según el contexto del problema. Si el enunciado pide porcentaje, multiplica por 100. Si pide euros, indica unidades. Redondea de forma coherente con los datos.
5
Interpreta el intervalo en el contexto
No basta con dar números — escribe una frase del tipo "con un 95% de confianza, la media poblacional está entre 4,2 y 4,8 kg". El corrector valora esta interpretación con hasta 0,25 puntos extra en Andalucía, Madrid y Galicia.
6
Si piden tamaño muestral, despeja n
De $E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ se despeja $n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^2$ . Redondea SIEMPRE al entero superior (si sale $n \geq 384{,}16$ → $n = 385$ ). Justifica el redondeo: "como $n$ debe ser entero, tomamos $n = 385$ ".

¿Qué trucos usa el corrector PAU para intervalos de confianza? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Memoriza los tres $z_{\alpha/2}$ más usados: 90% → 1,645 · 95% → 1,96 · 99% → 2,575. Cubren el 95% de los problemas PAU y ahorran tiempo de tabla.
✓
Si te dan la amplitud del intervalo (no el error), recuerda que amplitud = 2·E. Es un error frecuente usar amplitud donde toca error.
✓
En tamaño muestral para proporción sin datos previos, usa $\hat{p} = 0{,}5$ (caso más desfavorable, maximiza $n$ ). El corrector lo espera y lo valora.
✓
Cuanto mayor sea el nivel de confianza, más ancho el intervalo (menos preciso). Cuanto mayor sea $n$ , más estrecho el intervalo (más preciso). Usa esto para verificar mentalmente que el resultado tiene sentido.
✓
Tras calcular, interpreta en palabras el intervalo: "con confianza del 95%, la nota media está entre 6,2 y 7,1". Vale 0,25 puntos extra en muchas CCAAs.

Errores frecuentes al resolver intervalos de confianza que penalizan el corrector ⚠

×
Confundir nivel de confianza ( $1-\alpha$ ) con nivel de significación ( $\alpha$ ): si el problema dice "confianza 95%", entonces $\alpha = 0{,}05$ y $z_{\alpha/2} = 1{,}96$ — no al revés.
×
Olvidar dividir $\alpha$ entre 2 al buscar el valor crítico: $z_{\alpha/2}$ no es lo mismo que $z_\alpha$ . Para confianza 95% se busca $z_{0{,}025} = 1{,}96$ , no $z_{0{,}05} = 1{,}645$ .
×
En tamaño muestral, no redondear hacia arriba: si sale $n \geq 96{,}3$ , el mínimo entero válido es $n = 97$ , no 96 (96 no garantiza el error pedido).
×
Olvidar $\sqrt{n}$ en el denominador del error: el error es $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , NO $\frac{\sigma}{n}$ . Confusión muy penalizada.
×
No interpretar el intervalo en palabras al final — solo dar el par numérico $(a, b)$ . Muchos correctores asignan puntuación explícita a esa frase final.

Preguntas frecuentes sobre intervalos de confianza en PAU 💬

¿Qué son los intervalos de confianza en estadística?: Un intervalo de confianza es un rango de valores, calculado a partir de los datos de una muestra, dentro del cual se estima que se encuentra un parámetro poblacional (la media $\mu$ , una proporción $p$ , una varianza...) con un nivel de confianza prefijado, típicamente 90%, 95% o 99%. Por ejemplo, un intervalo del 95% de confianza para la media significa que si repitiéramos el muestreo muchas veces, aproximadamente el 95% de los intervalos construidos contendrían la verdadera media poblacional.
¿Cómo se calcula un intervalo de confianza para la media?: Con la fórmula $\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , donde $\bar{x}$ es la media muestral, $\sigma$ la desviación típica poblacional, $n$ el tamaño de la muestra y $z_{\alpha/2}$ el valor crítico de la $N(0,1)$ asociado al nivel de confianza. Pasos: (1) identifica $\bar{x}, \sigma, n$ y el nivel de confianza, (2) busca $z_{\alpha/2}$ en la tabla (1,96 para 95%, 2,575 para 99%), (3) calcula el error $E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , (4) escribe el intervalo $(\bar{x}-E, \bar{x}+E)$ y (5) interprétalo en el contexto del problema.
¿Cómo calculo el tamaño muestral mínimo necesario?: Despeja $n$ de la fórmula del error máximo admisible. Para la media: $n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^2$ . Para una proporción: $n \geq \frac{z_{\alpha/2}^{\,2}\cdot\hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}$ . Redondea SIEMPRE hacia arriba: si sale $n \geq 245{,}7$ , el mínimo entero válido es $n = 246$ . Si no conoces $\hat{p}$ a priori, usa el caso más desfavorable $\hat{p} = 0{,}5$ (maximiza el producto $\hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}25$ ).
¿Qué nivel de confianza debo elegir para un intervalo?: En PAU el nivel de confianza lo da el enunciado — no se elige. Los niveles típicos son 90%, 95% (el más común) y 99%. A mayor nivel de confianza, mayor seguridad de que el intervalo contiene el parámetro real, pero más ancho será el intervalo (menos preciso). Si te piden "elegir uno", justifica con el contexto: para decisiones críticas (medicina, control de calidad) se usa 99%; para encuestas y estudios sociales basta con 95%. Para sondeos políticos a veces se trabaja con 90%.
¿Cuál es la diferencia entre error máximo admisible y amplitud del intervalo?: El error máximo admisible $E$ es la distancia entre el centro del intervalo (la media muestral $\bar{x}$ ) y cualquiera de sus extremos: $E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . La amplitud del intervalo es la distancia entre sus dos extremos: amplitud $= 2E$ . Confundirlos es un error frecuente: si el problema dice "el intervalo tiene amplitud 4", el error es $E = 2$ , no $E = 4$ . Lee siempre con atención cuál de las dos magnitudes te da el enunciado.

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Se desea estimar la proporción de personas de una determinada localidad que se muestran favorables a la celebración de las fiestas locales durante el mes de mayo. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de 200 personas resultando que 130 de ellas están a favor. a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 96.5%, para estimar la proporción de personas de esta localidad que está a favor de celebrar las fiestas locales durante el mes de mayo. b) (1 punto) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 99%, ¿cuál es el número mínimo de personas que deberán seleccionarse aleatoriamente para que la proporción muestral y la poblacional no difieran en más de un 2%? c) (0.5 puntos) Manteniendo el tamaño de la muestra y la proporción muestral, si se aumenta el nivel de confianza, razone cómo influye en el error máximo de estimación.

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